برد عددی توانهای یک عملگر

چکیده: a?b(h) کنید فرض ،در این صورت برد عددی و aشعاع عددی a به ترتیب به صورت زیر تعریف می شوند. w(a)={ : v?h , ??v??=1 } w (a)=sup{?? ? : ? ?w(a)} که درآن <.,.> و?? .?? به ترتیب حاصلضرب داخلی و نرم روی فضای هیلبرت h می باشند . هورن وجانسون نشان دادند کهw?(a)?^(k ) ? (w(a^k. فرض کنید a?b(h) نرمال باشد .در این صورت رابطه ی زیر را داریم conv?(a^k )=(w(a^k ) ?)?conv(w(a)) ?^k اما ؛ سوال اساسی این است ،آیا شمول ? w?(a)?^k w(a^k)برای هر عملگر خطی کراندار دلخواه aبرقرار است؟ با ارئه مثالی می توان نشان داد که جواب منفی است. در ادامه شرایطی ایجاد می کنیم که شمول ? w?(a)?^k w(a^k)برقرار شود. فرض کنید a ?=a ? ?a? ?^2 a ?…?^(k-2) a ? ?^(k-1) a که ?=e^(i 2?/k) می باشد. در این صورت =w(a^k) w(a ?^k)به ویژه w(a ?)=w(a) ،همچنین روابط زیر را داریم. ?conv[?_(j=1)^k???^j w(a)]}??^k(w(a^k= w?(a ?)?^k w?(a)?^k=??w(a ?)?^k w(a^k)=w(?((a)) ??^k